จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ

     ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

     จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า  เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

     ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมา และต่อเนื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณีซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน

    จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ

แผนภูมิจำนวนจริง

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000...
		เขียนแทนด้วย 0.2000...
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่           I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่          I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่                            N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...} ในทางคณิตศาสตร์ "...ตรรกยะ" หมายถึง เราจำกัดขอบเขตให้อยู่ในระบบจำนวนตรรกยะเท่านั้น เช่น พหุนามตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมดเราใช้สัญลักษณ์ Q หรือตัวใหญ่บนกระดานดำ โดยใช้เซตเงื่อนไข ได้ดังนี้ จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่เขียนแทนในรูปเศษส่วน เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ <== หมายเหตุ == > ตัวอย่างจำนวนที่เป็นจำนวนตรรกยะ เช่น จำนวนเต็ม , เศษส่วน , ทศนิยมซ้ำ เป็นต้น แบบที่ 1 การทำให้เศษเป็น 10 ,100 , 1000 ,... โดยอาศัยความรู้เรื่องของเศษส่วนที่เท่ากัน เช่น (1) (2)   แบบที่ 2 ใช้หลักของการหารยาว เช่น (1) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปของทศนิยม (2) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปของทศนิยม (3) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปของทศนิยม (4) จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปทศนิยม ::: สรุป ::: ในเรื่องเกี่ยวกับการเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม เราจะได้ทศนิยมซ้ำศูนย์หรือทศนิยมที่ซ้ำตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น หมายเหตุ ==> ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น อ่านว่า ศูนย์จุดสี่ศูนย์ ศูนย์ซ้ำ ==> ทศนิยมซ้ำตัวเลข เช่น อ่านว่า ศูนย์จุดห้าสี่ห้าสี่ซ้ำ     ในที่นี้ขอแนะนำ 2 วิธี คือ 1. การทำให้ตัวที่ซ้ำกันหมดไปโดยการเอาค่าประจำตำแหน่งคูณเข้าไปทั้งสมการเพื่อให้เกิดสมการใหม ่ ตัวอย่างที่ 1 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน   ตัวอย่างที่ 2 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน 2. ใช้สูตรลัด ตัวอย่างที่ 3 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน ตัวอย่างที่ 4 จงเปลี่ยน ให้อยู่ในรูปเศษส่วน แบบทดสอบ 1) ข้อใดเป็นเท็จ 1.เศษส่วนทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ 2.จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ 3.จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม 4.จำนวนตรรกยะทุกจำนวนทำให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ 2) ข้อใดไม่เป็นจำนวนตรรกยะ  1. 3.14... 2. 2.55... 3. 7.125897 4. 7.424242... 3) จำนวน 3/9 เท่ากับจำนวนในข้อใด 1. 0.3 2. 0.6 3. 0.33333.. 4. 0.66666.. 4) ค่าของ x จากสมการ 2x+4 = 2 คือข้อใด 1. – 1 3. 2 4. -2 5) ค่าของ y จากสมการ 4y + 9 = 15 คือข้อใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 6)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 7)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 8)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 9)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 10)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 11)xเมื่อนำมาคูณกันจะได้เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 12) ( ) เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 13)5.66 เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 14) -53,215,978,523 เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 15) 0 เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 16)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 17)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1. ตรรกยะ 2. อตรรกยะ 18)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 19)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ 20)เป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะ 1.ตรรกยะ 2.อตรรกยะ เฉลยแบบฝึกหัด 1. 1 2. 3 3. 3 4. 1 5. 1 6. 2 7. 2 8. 1 9. 1 10. 2 11. 2 12. 1 13. 1 14. 1 15. 1 16. 1 17. 1 18. 1 19. 2 20. 1

จำนวนอตรรกยะ

     จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ ส่วนa/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่

bไม่เท่ากับ 0 หรือจำนวน อตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น

2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

หมายเหตุpซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้วpเป็นเลข

    ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่ รู้จบแบบซ้ำได้Pi เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้

          ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับ เส้นผ่านศูนย์กลางเราจะ  พบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมาณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า Pi ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า Pi ไว้ว่า ค่า Pi จะมีค่าอยู่ระหว่าง 22/7 กับ 223/71 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า Piไ ด้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่    อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า Pi ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณหาค่า นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า Pi แล้วก็ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า Pi เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan = 1 ผลที่ตามมาก็คือ Pi/4 หรือ Pi ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

           อย่างไรก็ตามจากบทความของ Dr. Tomaczewski ผู้อำนวยการ The Advanced Computer Numerics Foundation ในรัฐโคโลราโด ประเทศสหรัฐอเมริกาได้แถลงว่า สถาบันแห่งนี้ได้พัฒนาโปรแกรมในการหาค่าของ Pi ผลที่ได้จากเครื่องคอมพิวเตอร์พบว่า ค่าของ นี้จะสิ้นสุดลงที่ตำแหน่ง 2,075,932,542,102 โดยที่เครื่องคอมพิวเตอร์ได้พิมพ์เลขศูนย์เป็นจำนวนหลายล้านตัวหลังจาก ทศนิยมในตำแหน่งดังกล่าว เขาจึงเชื่อว่า เป็นจำนวนตรรกยะ

           นักคณิตศาสตร์หลายท่านคงไม่ยอมรับการพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนตรรกยะโดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ดังที่กล่าวมาแต่การแถลงการณ์ของ Dr. Tomaczewski ทำให้เราทราบความคืบหน้าอีกก้าวหนึ่งในวงการคณิตศาสตร์