ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function)

            จากการศึกษาในเรื่องเลขยกกำลัง  ซึ่งท้ายที่สุดเราได้สนใจเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวก  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ
            แต่ได้มีนักคณิตศาสตร์ได้สังเกตเห็นว่า  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเป็น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ ดังนี้

            ถ้ากำหนดให้      a = 1  และ x เป็นจำนวนจริงใดแล้วจะได้
                                                ax         =          1x         =          1

ข้อสังเกต

• ไม่ว่า x จะเป็นจำนวนจริงใด ๆ ก็ตาม 1x ก็ยังคงเท่ากับ 1 เสมอ  ดังนั้นจึงไม่น่าสนใจ  เนื่องจาก  เราทราบว่ามันเป็นอะไรแน่ ๆ อยู่แล้ว
• เรายังไม่ทราบนะว่า  เลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนจริงบวกยกเว้น 1  และเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริงใด ๆ แสดงว่าเราจะต้องสนใจศึกษาเลขยกกำลังลักษณะนี้เป็นพิเศษ  ซึ่งจะกล่าวถึงใน  เรื่องฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลดังนี้

ข้อกำหนด  (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = { (x, y) Î R ´ R+ / y = ax , a > 0, a ¹ 1 }

ข้อตกลง  ในหนังสือคณิตศาสตร์บางเล่มให้ข้อกำหนดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูป f(x) = kax  เมื่อ k เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ 0 และ a เป็นจำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 แต่ในหลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลายนี้  จะถือว่าฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะอยู่ในรูป f(x) = ax  เมื่อ a เป็น จำนวนจริงบวกที่ไม่เป็น 1 เท่านั้น

ข้อสังเกต  จากข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

• f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัวเนื่องจาก 1x = 1  ดังนั้นในข้อกำหนดฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  จึงไม่สนใจ  ฐาน (a) ที่เป็น 1
• f(x) = 1x  ไม่เป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  เนื่องจาก  f(x) = 1x เป็นฟังก์ชันคงตัว
• จากเงื่อนไขที่ว่า  y = ax, a > 0, a ¹ 1  ทำให้เราทราบได้เลยว่าฐาน (a) มีอยู่ 2 ลักษณะ คือ  0 < a < 1 กับ a > 1
• ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะมีอยู่ 2 ชนิด  โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐาน (a)  ดังนี้

ชนิดที่ 1     y = ax, 0 < a < 1
ชนิดที่ 2     y = ax, a > 1

กราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1
            ลองศึกษารูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = ax, 0 < a < 1  จากตัวอย่างดังต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1  จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน  y =
            วิธีทำ    ฟังก์ชัน  y =   เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพเนินเชียลที่มีฐาน (a) เป็นจำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยกว่า  1 ( 0 < a < 1  นั่นเอง)
                        เขียนตารางแสดงจุดผ่านบางจุดของกราฟ y =   ดังนี้

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	8	4	2	1

 

 จากตัวอย่าง  ที่แสดงให้เห็นรูปร่างกราฟของฟังก์ชัน  y = จะเห็นได้ว่า

1. ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนลยที่น้อยลงเรื่อย ๆ
2. ค่าของ y จะค่อย ๆ ลดลงเข้าใกล้ศูนย์เมื่อ x มีค่าเป็นจำนวนบวกมากขึ้น

อาจกล่าวได้ว่า  เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้นจะทำให้ y มีค่าลดลงตามไปด้วย  แสดงว่าฟังก์ชันก์ y =   จึงเป็นฟังก์ชันลดในโดเมนของฟังก์ชันซึ่งเป็นเซตของจำนวนจริง  ถูกเรียกสั้น ๆ ว่า  y =   เป็นฟังก์ชันลด

     การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล

       หลักการ

            กำหนดให้ a > 0 , a ¹ 1  และ  b > 0 , b ¹ 1

• aD = ar  ก็ต่อเมื่อ  D = r  (พยายามทำฐานให้เหมือนกัน)
• ถ้า aD = ar  และ a ¹ b  แล้ว  D = r = 0  เท่านั้น
• บางครั้งอาจจะต้องสมมุติเพื่อเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูป Quadratic และอาจต้องใช้วิธีแยกแฟกเตอร์โพเนนเชียลง่ายขึ้น
• สิ่งที่ควรเน้น     คำตอบที่ได้จากการแก้สมการ  ไม่ต้องนำมาตรวจสอบคำตอบ
           ยกเว้นในกรณีมีการยกกำลังจำนวนคู่  จะต้องตรวจสอบคำตอบด้วย

ตัวอย่างที่ 1  จงหาค่า x ที่ทำให้สมการ 3x+2 = 243  เป็นจริง
            วิธีทำ                3x+2      =          243
                                    3x+2      =          35
                                    x+2      =          5

                        ดังนั้น       x      =          3

ตัวอย่างที่ 2  จงแก้สมการ  10x – 5x-1 × 2x-2  =  950
            วิธีทำ    10x – 5x-1 × 2x-2              =          950
                        10x -               =          950
                        10x -                   =          950
                        10x(1- )                =          950
                        10x()                       =          950
                                    10x                   =          1000
                                    10x                   =          103
                                      x                    =          3
            ดังนั้น  เซตคำตอบของสมการคือ { 3 }

     
     การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียลที่ทำฐานให้เหมือนกันได้

          หลักการ

1. ถ้า  0 < a < 1  (ฟังก์ชันลด) แล้ว
   
   
1.        ก็ต่อเมื่อ           x1 < x2

           2.        ก็ต่อเมื่อ           x1 > x2

ข้อสังเกต

1. ถ้า a > 1  (ฟังก์ชันเพิ่ม)  แล้ว
   
   
1.            ก็ต่อเมื่อ                 x1 > x2

           2.             ก็ต่อเมื่อ                  x1 < x2

ข้อสังเกต  ปลดฐาน  หรือเติมฐาน  คงเดิมเครื่องหมายอสมการ
สิ่งที่ควรเน้น     คำตอบที่ได้จากการแก้อสมการ  ไม่ต้องนำมาตรวจสอบคำตอบ
                   ยกเว้น  ในกรณีที่มีการยกกำลังจำนวนคู่  จะต้องตรวจสอบคำตอบด้วย

ตัวอย่าง 1  จงหาเซตคำตอบของอสมการ 
            วิธีทำ    จาก     

                                  
                                  
ปลดฐาน  กลับข้างเครื่องหมายของอสมการเนื่องจากฐาน () มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1
            จะได้     x2 + 2x + 8       >          2x + 24
                               x2 – 16      >          0
                        (x + 4) (x – 4)   >          0

                      

            ดังนั้น   เซตคำตอบอสมการคือ  (-¥, -4) È (4, ¥)