คณิตศาสตร์คืออะไร

คณิตศาสตร์คืออะไร

• 1. 1 คณิตศาสตร์ คือ อะไร บุคคลต่างๆ ทั้งในและนอกวงการคณิตศาสตร์ ได้พยายามนิยามคาว่า“คณิตศาสตร์” ไว้ต่างๆกัน แต่ก็ไม่เคยมีผู้ใดประสบความสาเร็จจนเป็นที่ยอมรับกันทั่วไปอาจเนื่องมาจากการที่คณิตศาสตร์มีขอบเขตของเนื้อหาที่กว้างมาก จึงเป็นการยากที่จะนิยามความหมายให้ครอบคลุมขอบข่ายเนื้อหาของคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้ ดังนั้น คาถามที่ว่า“คณิตศาสตร์ คือ อะไร” จึงไม่ใช่เรื่องง่ายที่ผู้ตอบจะให้คาตอบที่ได้อย่างสมบูรณ์ อนึ่ง เมื่อกล่าวถึงคาว่า คณิตศาสตร์ ในคนต่างกลุ่ม ย่อมมีความเข้าใจเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันออกไป นั่นคือ การที่มีผู้ที่ให้นิยามคาว่าคณิตศาสตร์แตกต่างกันเป็นผลมาจากการที่บุคคลเหล่านั้นมองคณิตศาสตร์ในมุมมองที่ต่างกัน จึงทาให้ความหมายของคณิตศาสตร์มีความหลากหลาย1. ความหมายของคณิตศาสตร์ คาว่า "คณิตศาสตร์" (คาอ่าน : คะ-นิด-สาด) มาจากคาว่า คณิต (การนับ หรือคานวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่าการศึกษาเกี่ยวกับการคานวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคานวณ ตามพจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2493 หน้า 222 มีข้อความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ดังนี้คือ คณิต (คะนิด) น. การนับ การคานวณ วิชาคานวณ มักใช้เป็นคาหลังของวิชาบางประเภท เช่น พีชคณิต เรขาคณิต คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ตรงกับคาภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคาภาษากรีก μάθημα(máthema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์ ความรู้ และการเรียน" และคาว่า μαθηματικός(mathematikós) แปลว่า "รักที่จะเรียนรู้" ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า mathส่วนประเทศอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths คณิตศาสตร์ มีโครงสร้างประกอบด้วย อนิยาม บทนิยาม สัจพจน์ ที่เป็นข้อตกลงเบื้องต้น จากนั้นจึงใช้การให้เหตุผลที่สมเหตุสมผล พร้อมทั้งสร้างทฤษฎีบทต่างๆขึ้น และนาไปใช้อย่างเป็นระบบ คณิตศาสตร์ มีความถูกต้องเที่ยงตรง คงเส้นคงวา มีระเบียบแบบแผนเป็นเหตุเป็นผล และมีความสมบูรณ์ ในตัวเอง คณิตศาสตร์ เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ ที่ศึกษาเกี่ยวกับ แบบ รูป และความสัมพันธ์เพื่อให้ได้ข้อสรุปและนาไปใช้ประโยชน์ คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากลที่ทุกคนเข้าใจตรงกัน ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และถ่ายทอดความรู้ระหว่างคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ
• 2. 2 คณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นนามธรรม เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับโครงสร้างนามธรรมที่ถูกกาหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจานวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์ ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่าเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จาเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนาไปใช้ทางวิทยาศาสตร์ โครงสร้างต่างๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกาเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์ ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทาให้กิจกรรมทุกอย่างกระทาผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่าเป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยาและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สาหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม.ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจาไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆจากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กาหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สาหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทาให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคานวณพื้นฐาน นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทางานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้นโดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนาไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematicians Apology) ;แรงผลักดันในการทางานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้ นอกจากนี้ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา
• 3. 3 องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา หลักการเบื้องต้นที่เริ่มจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขาคณิตศาสตร์ ที่รวมพีชคณิต เรขาคณิต ตรีโกณมิติสถิติศาสตร์ และแคลคูลัส เป็นหลักสูตรแกนในการศึกษาขั้นพื้นฐาน แม้ว่าจะได้มีการพัฒนาและขยายขอบเขตไปอย่างมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตร์ยังคงถูกจัดว่าเป็นสาขาวิชาเดี่ยว ที่มีลักษณะแตกต่างจากสาขาอื่นๆ ความหมายตามลักษณะการเรี ยนรู้ ในปั จจุบัน - คณิตศาสตร์ เป็นวิชาเกี่ยวกับความคิด - คณิตศาสตร์ เป็นภาษาอย่างหนึ่ง - คณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์ - คณิตศาสตร์ มีลักษณะเป็นตรรกวิทยา - คณิตศาสตร์ เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์แขนงหนึ่งของวิทยาศาสตร์ ที่ได้มีบทบาทต่อชีวิตประจาวันของมนุษย์ ช่วยให้มนุษย์เป็นคนที่มีเหตุผล รู้จักใช้สติปัญญาในการริเริ่มสร้างสรรค์มีความสามารถและมั่นใจในกาแก้ปัญหา ตลอดจนคิดคานวณได้อย่างถูกต้อง วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับความคิด กระบวนการและเหตุผล คณิตศาสตร์ฝึกให้คนคิดอย่างมีระเบียบและเป็นรากฐานของวิทยาการหลายๆสาขา ความเจริญก้าวหน้าทางเทคโนโลยี วิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ เป็นต้น ก็ล้วนแต่อาศัยคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เป็นนามธรรม เนื้อหาบางเรื่องก็ยากจะอธิบายให้เข้าใจได้ ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วเป็นวิชาที่มีความแน่นอนมากที่สุดในบรรดาวิชาการทั้งหลายกล่าวคือระบบคณิตศาสตร์หนึ่งๆนั้น สิ่งที่ได้หรือผลที่ได้นั้นมีความแน่นอนภายในระบบ ซึ่งตรงกันข้ามกับวิชาอื่นๆที่มีความแปรปรวนของผลอยู่เสมอ ตัวอย่างเช่นวิชาสังคมศึกษาเป็นวิชาที่มีการเปลี่ยนแปลงของข้อมูลอยู่เสมอแปรเปลี่ยนไปตามสภาพสังคมในปัจจุบัน เป็นต้น นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายท่านได้ให้คาจากัดความและความหมายของคณิตศาสตร์ ดังนี้ 1. Bertran Russell ; คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เราไม่เคยรู้ว่าเรากาลังพูดถึงอะไรอยู่หรือ แม้กระทั่งไม่รู้ว่า สิ่งที่เรากาลังกล่าวอยู่นั้นเป็นจริงหรือไม่ (Mathematics is the subject in which we don’t know what we are talking about , nor whether what we are saying is true.) 2. Gibbs , JosiahWillard ; คณิตศาสตร์ คือ ภาษา
• 4. 4 3. Max Black ; คณิตศาสตร์เป็นการศึกษาโครงสร้างทั้งหลายที่แสดงได้ด้วย สัญลักษณ์และมีกฎเกณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับระบบสัญลักษณ์ 4. Marshall Stone ; คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยการศึกษาถึงระบบนามธรรม ทั่วไป โดยแต่ละนามธรรมนั้นจะถูกสร้างขึ้นโดยเฉพาะและมีโครงสร้างที่ แน่นอนซึ่งจะมีความสัมพันธ์กันตลอด 5. ดร. พนัส หั นคานินทร์ และ ดร.พิทักษ์ รั กษพลเดช ; คณิตศาสตร์ เป็นเครื่องมือ สาหรับแสดงออกซึ่งความคิดอันเป็นระเบียบ คณิตศาสตร์มีวิธีการคิดและมี กฎเกณฑ์ที่แน่นอน หลักของคณิตศาสตร์ใช้หลักของตรรกศาสตร์ โดยสรุ ปแล้ ว นักคณิ ตศาสตร์ ได้ ให้ ความหมายของคณิ ตศาสตร์ ไว้ 3 ลักษณะ คือ 1) คณิตศาสตร์ คือ วิทยาศาสตร์ (Mathematics is a Science) หมายความว่าข้อสรุปทางคณิตศาสตร์หรือผลสรุป (Conclusion) เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล (Valid) ตามหลักทางตรรกวิทยา (Logic) และมีความเที่ยงตรงเชื่อถือได้ และข้อสรุปขึ้นอยู่กับสมมติฐานหรือข้อกาหนด (Assumption or Postulates) ส่วนข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์จะจริงหรือน่าจะเป็นจริงตามธรรมชาติ 2) คณิตศาสตร์ คือ ภาษา (Mathematics is a Language) คณิตศาสตร์ คือ ภาษา ภาษาหนึ่งที่รู้จักกันเฉพาะผู้ที่ศึกษาคณิตศาสตร์เท่านั้น และเป็นภาษาที่รัดกุม โดยใช้สัญลักษณ์น้อยแทนความหมายกว้างขวางมากมาย นอกจากนี้คณิตศาสตร์ในฐานะของภาษายังช่วยให้ผู้อื่นเข้าใจความคิดเห็น และเกิดความคิดอันแจ่มกระจ่างได้ด้วย
• 5. 53) คณิตศาสตร์ คือ เครื่องมือ (Mathematics is a Tool) หมายความว่า เราใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาวิชาอื่นๆ เช่น วิทยาศาสตร์ทุกสาขาต้องใช้คณิตศาสตร์แพทย์ศาสตร์ การบริหารธุรกิจ การประกันภัย การศึกษา และวิทยาการอื่นๆอีก อาจกล่าวได้ว่าคณิตศาสตร์เป็นเครื่องช่วยในการดารงชีวิตประจาวันอีกด้วย2. ความเป็ นมาของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นวิชาการที่มีวิวัฒนาการมาเป็นเวลานานแล้ว และในปัจจุบันได้แตกแขนงออกไปเป็นจานวนมากมาย ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละแขนงยังแตกกิ่งก้านออกไปอีกเป็นจานวนมาก ด้วยเหตุนี้ จึงเป็นไปไม่ได้ที่เราจะศึกษาเรียนรู้ทุกสิ่งทุกอย่างที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ สิ่งที่เราพยายามจะทาเป็นเพียงการพยายามที่จะเข้าใจในธรรมชาติทั่วๆไปของคณิตศาสตร์ เข้าใจส่วนที่เป็นโครงสร้างและองค์ประกอบที่สาคัญของคณิตศาสตร์ นั่นคือ เราพยายามจะศึกษาเฉพาะส่วนที่เป็น “ หลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์” เท่านั้น ดังนั้น เพื่อเป็นส่วนช่วยให้เรารู้อะไรในเชิงกว้างไว้บ้างเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เราจะศึกษาประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยเริ่มต้นจนกระทั่งถึงสมัยปัจจุบันการศึกษานี้จะทาให้เห็นถึงวิวัฒนาการทางความคิดที่เกี่ยวกันคณิตศาสตร์ และรู้ว่าความคิดนั้นๆ เกิดขึ้นได้อย่างไรและเมื่อใด จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์มาจากการนับ ราวประมาณ 2000 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาลิโลเนียได้เริ่มพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ มีการนับตัวเลข การแบ่งหน่วย มีลักษณะเป็นเลขจานวนเต็ม และแบ่งส่วนย่อยมีฐาน 60 ดังที่ใช้มาในเรื่องเวลาจนถึงปัจจุบัน การคิดคานวณเกียวกับตัวเลขทีรจกกันดีคอ ทฤษฎีบทพีธากอรัส ทีรจกและรวบรวม ่ ่ ู้ ั ื ่ ู้ ัพิสูจน์โดยพีธากอรัส ก็มีการคิดคานวณกันมาประมาณ 1700 ก่อนคริสตกาล แล้ว ในช่วงเวลานั้นชาวบาบิโลเนียก็รู้จักวิธีการแก้สมการเชิงเส้น และสมการกาลังสอง ซึ่งเป็นต้นแบบสาหรับวิชาพีชคณิตในเวลาต่อมา ชาวกรีกมีการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะปัญหาทางด้านเรขาคณิต โดยเฉพาะการหาขนาดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต และผลที่น่าสนใจคือ การคานวณหาค่าของ ชาวกรีกยังรับเอาวิทยาการต่าง ๆ ของยุคบาบิโลเนีย จนถึงยุคกรีกในช่วงเวลาประมาณ 450 ก่อนคริสตกาล ชาวกรีกโบราณได้ศกษาค้นคว้าเกียวกับรูปตัดกรวย เป็นผลของการศึกษาทีเ่ กียวโยง ึ ่ ่เพื่อการค้นคว้าทางดาราศาสตร์ และทาให้เกิดวิชาตรีโกณมิติ ขณะที่วิทยาการทางคณิตศาสตร์
• 6. 6ที่กรีก กาลังรุ่งเรือง ประเทศในกลุ่มอิสลามซึ่งได้แก่ อิหร่าน ซีเรีย และอินเดีย ก็มีการพัฒนาและศึกษาวิชาการทางด้านคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้นวิทยาการทางด้านคณิตศาสตร์ก็แพร่กลับไปยังยุโรป ทาให้มีการพัฒนาการต่อเนื่องไปศตวรรษที่สิบแปด วิทยาการทางคณิตศาสตร์ในยุโรป เริ่มขึ้นในราวศตวรรษที่ 16 ซึ่งในช่วงนั้นมีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ทาการศึกษาค้นคว้าทางพีชคณิต และต่อเนื่องมากในหลักการทางแคลคูลัส ระหว่างศตวรรษที่ 17 ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปในทางที่ก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว โดยเน้นไปในทางเรขาคณิตและแคลคูลัส เพื่อให้เห็นแนวคิดที่สาคัญของการพัฒนาที่สาคัญเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งมีบทบาทที่สาคัญต่อแนวคิด3. ธรรมชาติของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาหาข้อเท็จจริงของวิทยาการต่างๆ นั้นก็เพราะว่า คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีลักษณะเฉพาะของตนเองที่จะทาให้เกิดผลที่จะนาไปอ้างอิงหรือสรุปผลในสาขาวิทยาการต่างๆ ได้เป็นอย่างดี ลักษณะตัวดังกล่าวของคณิตศาสตร์ที่สาคัญมีดังนี้ 1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดรวบยอด ลักษณะของคณิตศาสตร์เป็นการศึกษารวบรวมสิ่งต่างๆ ที่มีลักษณะเหมือนๆกัน ซึ่งอาจจะได้จากประสบการณ์หรือปรากฏการณ์ต่างๆ ที่เกิดขึ้น มาสรุปเพื่อให้เห็นว่าสิ่งต่างๆนั้นจะส่งผลหรือให้ผลเช่นไรจึงเหมาะสม และถูกต้องตามกระบวนการแห่งความคิดเห็นนั้นๆ 2. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้าง โครงสร้างของคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์นั้นมีกาเนิดมาจากธรรมชาติ โดยมนุษย์ได้เฝ้าสังเกตความเป็นไปในธรรมชาติ แล้วจึงสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมา เพื่อแก้ไขปัญหาของธรรมชาติ แบบจาลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย เทอมอนิยาม เทอมนิยาม และข้อความจริงเบื้องต้น จากนั้นสรุปออกมาเป็นกฎและทฤษฎี แล้วนากฎนั้นหรือทฤษฎีนั้นมาประยุกต์ใช้กับธรรมชาติ ทาให้เราเข้าใจความเป็นไปของธรรมชาติมากขึ้น 3. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่แสดงความเป็นเหตุเป็นผลต่อกัน จากคากล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับความคิดรวบยอดและมีโครงสร้างดังนั้น ในการศึกษาสิ่งใหม่ๆ จึงต้องอาศัยสิ่งที่รู้แล้วหรือสิ่งที่แน่ใจว่าถูกต้องว่าสิ่งนั้น จะให้ผลที่เกิดขึ้นตามมาอย่างเป็นขั้นตอน จะเกิดสิ่งใดบ้าง หรือจะสรุปได้ว่า จะเกิดความรู้
• 7. 7ใหม่ๆ ใดบ้าง โดยการพิจารณาหรือวิเคราะห์แต่ละขั้นตอนนั้นว่าอยู่บนรากฐานของความถูกต้องหรือกล่าวได้ว่ามีความเป็นเหตุเป็นผลซึ่งกันและกัน 4. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ใช้สัญลักษณ์ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีการกาหนดสัญลักษณ์แทนสิ่งต่างๆ ที่เป็นนามธรรมเพื่อสื่อความหมายเช่นเดียวกับภาษา ทาให้สามารถเขียนข้อความทางคณิตศาสตร์ได้ กะทัดรัดชัดเจน รวดเร็วและง่ายต่อความเข้าใจ นับได้ว่าคณิตศาสตร์เป็นภาษาหนึ่งที่ถูกกาหนดขึ้นด้วยสัญลักษณ์ที่รัดกุมและมีความหมายเฉพาะตัวที่จะทาให้สื่อความหมายได้ถูกต้อง เป็นภาษาที่มีตัวเลข ตัวอักษรและสัญลักษณ์แทนความคิด4. โครงสร้างของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับงานด้านการสร้างโครงสร้างทางตรรกวิทยาและนิยมเรียกว่าแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีโครงสร้างดังต่อไปนี้ 1. สิ่งอนิยามและมโนภาพอนิยาม คือสิ่งและมโนภาพที่ไม่นิยามความหมาย 2. สิ่งที่นิยามความหมาย คือ สิ่งหรือมโนภาพที่ให้คาจากัดความ หรือนิยามความหมายโดยใช้สิ่งนิยามหรืออมโนภาพนิยาม 3. สมมติเกี่ยวกับสิ่งอนิยามและสิ่งที่นิยาม สร้างขึ้นเพื่อเป็นสิ่งที่แสดงข้อเท็จจริงเบื้องต้นของธรรมชาติที่กาลังจะสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์นั้นเรียกว่ากติกา 4. ทฤษฎีบทเป็นข้อความที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง5. ลักษณะสาคัญของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่สาคัญวิชาหนึ่ง คณิตศาสตร์มิใช่มีความหมายเพียงตัวเลขและสัญลักษณ์เท่านั้น คณิตศาสตร์มีลักษณะทีกว้างมาก ซึ่งจะสามารถสรุปได้ดังนี้ ่ 1. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิด ใช้คณิตศาสตร์พิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่าสิ่งที่คิดนั้น เป็นจริงหรือไม่ด้วยวิธีคิด เราก็จะสามารถนาคณิตศาสตร์ไปแก้ไขปัญหาทางวิทยาศาสตร์ได้ คณิตศาสตร์ช่วยให้คนมีเหตุผล เป็นคนใฝ่รู้ ตลอดจนพยายามคิดสิ่งที่แปลกและใหม่ คณิตศาสตร์จึงเป็นรากฐานของความเจริญของเทคโนโลยีด้านต่างๆ 2. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวข้องกับชีวิตมนุษย์ มนุษย์สร้างสัญลักษณ์แทนความคิดนั้นๆ และสร้างกฎในการนาเอาสัญลักษณ์มาใช้ เพื่อสื่อความหมายให้เข้าใจตรงกันคณิตศาสตร์จึงมีภาษาเฉพาะของตัวมันเอง เป็นภาษาที่ถูกกาหนดขึ้นด้วยสัญลักษณ์ที่รัดกุมและสื่อความหมายได้ถูกต้องเป็นภาษาที่มีตังอักษร ตัวเลข และสัญลักษณ์แทนความคิด เป็น
• 8. 8ภาษาสากลที่ทุกชาติทุกภาษาเรียนคณิตศาสตร์เข้าใจตรงกัน เช่น x+5=28 ทุกคนที่เข้าใจคณิตศาสตร์จะอ่านประโยคสัญลักษณ์นีได้ และเข้าใจความหมายตรงกัน 3. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีรูปแบบ (pattern) เราจะเห็นว่าการคิดทางคณิตศาสตร์นั้นจะต้องมีรูปแบบ ไม่ว่าจะคิดเรื่องใดก็ตามทุกขั้นตอนจะตอบได้และจาแนกออกมาให้เห็นจริง 4. คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีโครงสร้างและมีเหตุผล คณิตศาสตร์จะเริ่มต้นด้วยเรื่องง่ายๆก่อน เช่น เริ่มต้นด้วย อนิยาม ได้แก่ จุด เส้นตรง ระนาบ เรื่องง่ายๆนี้จะเป็นพื้นฐานนาไปสู่เรื่องอื่นๆ ต่อไป เช่น บทนิยาม สัจพจน์ ทฤษฏีบท การพิสูจน์ 5. คณิตศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนึ่ง เช่นเดียวกับศิลปะอย่างอื่นความงามของคณิตศาสตร์ก็คือความมีระเบียบและความกลมกลืน นักคณิตศาสตร์ได้พยายามแสดงความคิดม มีความคิดสร้างสรรค์ มีจินตนาการ มีความคิดริเริ่ม ที่จะแสดงความคิดใหม่ๆ และแสดงโครงสร้างใหม่ๆทางคณิตศาสตร์ออกมา 6. การสร้างรูปแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของปัญหาหรือเรื่องที่สนใจในธรรมชาติเรื่องหนึ่งนั้นต้องอาศัยความฉลาดเฉลียวอย่างลึกซึ้งและต้องมีความเข้าใจอย่างแท้จริงในปัญหานั้นๆด้วย6. การแบ่ งสาขาคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ได้แบ่งเป็นแขนงต่าง ๆ ดังนี้ 1. เลขคณิต วิชานี้จะกล่าวถึงจานวนและสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจานวน ซึ่งเรียกว่าตัวเลข รวมทั้งการดาเนินการต่างๆ เกี่ยวกับจานวน ได้แก่ บวก ลบ คูณ หาร 2. พีชคณิต วิชานี้จะกล่าวถึงจานวนในลักษณะต่างไปจากเลขคณิต พีชคณิตให้ตัวอักษร เช่น x และ y แทนจานวนที่ยังไม่รู้ค่า เพื่อให้แก้โจทย์เลขคณิตที่ยุ่งยากได้โดยง่าย 3. เรขาคณิต เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับรูปร่างต่างๆ และขนาดของสิ่งของรอบๆ ตัวเรา เป็นวิชาที่ว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างเส้น มุม การวัดพื้นที่ และปริมาตร
• 9. 9ประกอบด้วยเรขาคณิต ระนาบ กล่าวถึงรูปแบบบนพื้นราบ ส่วนเรขาคณิตสามมิติจะกล่าวถึงรูปทรงต่าง ๆ 4. ตรีโกณมิติ เป็นคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการวัดรูปสามเหลี่ยมต่างๆ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่างด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีความสาคัญต่อวิชาดาราศาสตร์ การเดินเรือและงานสารวจ ถ้าศึกษารูปสามเหลี่ยมบนพื้นราบเรียกว่า ตรีโกณมิติระนาบ ถ้าศึกษารูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมเรียกว่า ตรีโกณมิติทรงกลม7. ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ การศึกษาแนวใหม่ได้จาแนกทฤษฎีการสอนคณิตศาสตร์ออกเป็น 3 ทฤษฎี คือ 1. ทฤษฎีแห่งการฝึกฝน ( Drill Theory ) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าเด็กจะเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้โดยการฝึกทาสิ่งนั้นซ้าๆ หลายๆ ครั้ง การสอนเริ่มโดยครูบอกสูตรหรือกฎเกณฑ์ให้แล้วให้เด็กทาแบบฝึกหัดมากๆ จนกระทั่งเด็กมีความชานาญ 2. ทฤษฎีแห่งการเรียนรู้โดยบังเอิญ ( Incedental learning Theory ) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าเด็กจะเรียนรู้คณิตศาสตร์ได้ดีเมื่อเด็กเกิดความพร้อมหรืออยากเรียนรู้มนสิ่งนั้นๆ การสอนจะพยายามให้นักเรียนเรียนคณิตศาสตร์ในบรรยากาศที่ไม่เคร่งเครียดและไม่น่าเบื่อ สอนโดยมีกิจกรรมที่หลากหลายและยึดนักเรียนเป็นสาคัญ 3. ทฤษฎีแห่งความหมาย ( Meaning Theory ) ทฤษฎีนี้เชื่อว่าเด็กจะเรียนรู้และเข้าใจในสิ่งที่เรียนได้ดีเมื่อเด็กได้เรียนในสิ่งที่มีความหมายต่อตัวเอง เรียนให้มีความหมายโครงสร้าง Concept และให้นักเรียนเห็นโครงสร้างของคณิตศาสตร์ ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์นั้นจาเป็นอย่างยิ่งที่ต้องใช้ทฤษฎีทั้ง 3 ทฤษฎีผสมกัน โดยขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครูผู้สอนว่าในแต่ละเนื้อหาวิชา ลักษณะของเด็กสภาพแวดล้อมขณะนั้น ตลอดจนตัวผู้สอนเอง ควรจะยึดหลักทฤษฎีไหน มากน้อยเพียงไร8. ความสาคัญของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่มีความสาคัญยิ่งอย่างหนึ่ง มีความจาเป็นต่อการดารงชีวิตประจาวันเป็นเครื่องมือในการใช้วิเคราะห์ปัญหา ปรากฎการณ์ธรรมชาติด้านต่างๆเป็นเครื่องมือสาหรับการแสดงออก การแสดงออกทางความคิดที่เป็นระเบียบและมีหลักเกณฑ์ที่แน่นอน อีกทั้งใช้ในการเรียนรู้วิชาต่างๆเพื่อการดารงชีวิตอยู่ในสังคมได้อย่างมีความสุข เป็นมรดกทางวัฒนธรรมที่สืบทอดกันมาจนถึงคนรุ่นหลัง ดังสรุปความสาคัญของคณิตศาสตร์ได้ดังนี้
• 10. 10 1) คณิตศาสตร์มีความสาคัญต่อการนาไปใช้ในชีวิตประจาวัน และงานอาชีพต่างๆเช่น การซื้อขาย การดูเวลา การกะระยะทาง การคาดคะเน การวัดส่วนสูง หรือแม้กระทั่งการกาหนดรายรับ รายจ่ายของครอบครัว เป็นต้น 2) คณิตศาสตร์สาคัญในแง่เป็นเครื่องมือปลูกฝัง อบรมให้ผู้เรียนมีคุณสมบัติ นิสัยและความสามารถทางสมองบางประการ อาทิ การเป็นคนช่างสังเกต รู้จักคิดอย่างมีเหตุผลแสดงความคิดเห็นอย่างมีระเบียบ ง่าย สั้น และสามารถวิเคราะห์ปัญหาได้ 3) คณิตศาสตร์มีความสาคัญในด้านวัฒนธรรม เพราะคณิตศาสตร์เป็นมรดกทางวัฒนธรรมที่คนรุ่นก่อนๆได้คิดค้นสร้างสรรค์ไว้ แล้วถ่ายทอดมาสู่คนรุ่นหลัง 4) เราใช้คณิตศาสตร์พิสูจน์อย่างมีเหตุผลว่าสิ่งที่เราคิดขึ้นนั้น เป็นจริงหรือไม่ ด้วยวิธีคิด เราก็จะสามารถ นาคณิตศาสตร์ไปแก้ไขปัญหาทางวิทยาศาสตร์ได้ คณิตศาสตร์ช่วยให้คนเป็นคนที่มีเหตุผล เป็นคนใฝ่รู้ ตลอดจนพยามยามคิดสิ่งที่แปลกและใหม่ คณิตศาสตร์จึงเป็นรากฐานแห่งความเจริญของเทคโนโลยีด้านต่างๆ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่จาเป็นอย่างยิ่ง เนื่องจากมนุษย์จะต้องตอบคาถามประเภทนี้เช่นคนในครอบครัวมีเท่าไหร่ มีสัตว์เลี้ยงกี่ตัว จึงเกิดจานวนนับ เกิดวิชาคณิตศาสตร์ขึ้น เช่นถ้าเพิ่มขึ้น 1 คน ใช้วิธีบวก ถ้าหายไป 1 คน ใช้วิธีลบ คณิตศาสตร์นั้นตอบสนองคาถามของมนุษย์ แต่เมื่อมนุษย์คิดกว้างขวางขึ้นคณิตศาสตร์ก็ขยายตัวออกไปตามความต้องการของมนุษย์ จึงเกิดคณิตศาสตร์สาขาต่างๆอีกมากมาย 5) คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่เกี่ยวกับความคิดของมนุษย์ มนุษย์สร้างสัญลักษณ์แทนความคิดนั้นๆ และสร้างกฎในการนาสัญลักษณ์มาใช้ เพื่อสื่อความหมายให้เข้าใจตรงกัน คณิตศาสตร์จึงมีความหมายเฉพาะในตัวมันเอง เป็นภาษาที่กาหนดขึ้นโดยสัญลักษณ์ที่รัดกุม และสื่อความหมายได้ถูกต้อง เป็นภาษาที่มีตัวอักษร ตัวเลข และสัญลักษณ์แทนความคิด เป็นภาษาสากลที่ทุกชาติ ทุกภาษาที่เรียนคณิตศาสตร์จะเข้าใจตรงกัน 6) ใช้คณิตศาสตร์ในการศึกษาวิชาแขนงต่าง ๆ เช่น การศึกษาวิศวกรรมศาสตร์สถาปัตยกรรมศาสตร์ การพาณิชย์ ฯลฯ ดังที่นักปราชญ์ได้กล่าวไว้ว่า “สรรพวิชาทั้งหลายเปรียบเสมือนส่วนต่างๆของต้นไม้เช่น กิ่ง ก้าน ลาต้น รากแขนง ส่วน คณิ ตศาสตร์ เปรี ยบเสมือน รากแก้ ว เมื่อต้นไม้ขาดรากแก้วก็จะเฉา และ อาจถึงตายได้ คนที่ขาดความรู้ทางคณิตศาสตร์ย่อมจะศึกษาวิชาอื่นให้ได้ดียาก” 

         คณิตศาสตร์เกิดขึ้นได้อย่างไร    : โดย หม่อมราชวงศ์ พรรคพงศ์สนิท สนิทวงศ์ 

           มีหลักฐานปรากฏว่าคนโบราณในสมัยหลายหมื่นปีมาแล้วรู้จักนับสิ่งของ และคาดหมายกันว่าคงจะเริ่มนับนิ้วมือก่อนสิ่งอื่น ในครั้งแรกคงจะนับได้เพียงหนึ่ง สอง สาม  ความจำเป็นอาจจะเกิดขึ้นเมื่อชายคนหนึ่งไปเก็บผลไม้ (สมมุติว่าเป็นส้ม) ในป่า เกิดปัญหาให้คิดว่าจะต้องเก็บส้มกลับบ้านสักกี่ผล จึงจะแบ่งให้ตัวของเขาเอง ภรรยา ลูก ได้คนละหนึ่งผลพอดี   เมื่อมือขวาหยิบส้มผลที่หนึ่งขึ้นใจก็นึกถึงตัวเอง นิ้วหัวแม่มือของมือซ้ายอาจจะงอเข้าโดยไม่ตั้งใจ หยิบมาอีกผลหนึ่ง ใจนึกถึงภรรยา นิ้วชี้ของมือซ้ายงอเข้าหาตัว หยิบส้มใบที่สาม ใจนึกถึงลูก นิ้วกลางของมือซ้ายงอเข้าหาตัว เมื่อกลับมาบ้านเขาอาจจะแปลกใจว่าสามารถแจกส้มให้คนในครอบครัวคนละหนึ่งผลพอดีได้อย่างไร
           เขาเริ่มรู้จักนับสิ่งของที่เขาได้พบเห็น มีจำนวนสิ่งของเพียง 1,2,3 สิ่ง แต่เมื่อพบสิ่งของมากกว่าสามสิ่ง เขาเกิดความรู้สึกว่าช่างมากมายเสียจนเขาบอกจำนวนไม่ได้

           ต่อมาเมื่อมีความจำเป็นที่จะต้องบอกว่า คนในครอบครัวมีกี่คน เขาจะใช้นิ้วมือหนึ่งนิ้วแทนจำนวนคนหนึ่งคน สองนิ้วแทนจำนวนสองคน และสามนิ้วแทนจำนวนคนสามคน เมื่อมีคนมากเขารู้เพียงว่ามีมากกว่าสามคน แต่ไม่รู้ว่ามีอยู่เป็นจำนวนเท่าใด ในการติดต่อเพื่อแลกเปลี่ยนสิ่งของกัน เช่น ฝ่ายหนึ่งจับสัตว์ป่ามาได้  ต้องการจะได้มีดมาใช้ เขาไปพบคนที่มีมีดก็จะทำเครื่องหมายเพื่อแสดงว่าเขาต้องการอะไร  ดังภาพ

           มนุษย์ในสมัยแรกรู้จักทำเครื่องมือเครื่องใช้ เช่น ขวานหินและมีดหิน แต่ก็ทำขึ้นอย่างหยาบๆ เขาไม่มีที่อยู่เป็นหลักแหล่ง มักจะเร่ร่อนพเนจรติดตามฝูงสัตว์ไปตามที่ต่างๆ เพื่อความสะดวกในการแสวงหาอาหาร เมื่ออาหารขาดแคลนลงก็เคลื่อนย้ายไปยังที่ใหม่ ซึ่งมีอาหารอุดมสมบูรณ์กว่า ใช้ถ้ำเป็นที่พักอาศัยหลบความหนาวเย็นของอากาศ ความจำเป็นที่ต้องเดินทางจากที่แห่งหนึ่งไปยังที่อีกแห่งหนึ่งทำให้รู้จักความหมายของใกล้และไกล จากการสังเกตเวลาที่ใช้ในการเดินทางน้อยหรือมากเพียงใด  คนเริ่มเข้าใจความหมายของระยะทางและเวลา

           ประมาณ 7,000 ปีมาแล้ว ที่มนุษย์เห็นความจำเป็นที่จะรวมกันอยู่เป็นหมู่บ้าน รู้จักทำการเพาะปลูก รู้จักวิธีหว่านพืชและเก็บเกี่ยว รู้จักนำสัตว์เข้ามาเลี้ยงในครัวเรือน  เพื่อใช้กินเป็นอาหารและผ่อนแรงงาน เช่น สุนัข แกะ แพะ หมู วัว ควาย  รู้จักใช้ก้อนดินหรือก้อนหินช่วยในการนับสิ่งของ วิธีนี้เขาสามารถนับได้มากกว่าสาม แต่เขายังไม่มีคำใช้บอกจำนวนหรือสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวน

           ในรูป คนเลี้ยงวัวปล่อยวัวออกจากคอกตอนเช้า เพื่อให้วัวไปหากินในทุ่งหญ้า เมื่อวัวออกจากคอกไปหนึ่งตัว คนเลี้ยงวัวก็วางก้อนดินไว้หนึ่งก้อน วัวออกจากคอกไปสี่ตัวจึงมีก้อนดินวางอยู่สี่ก้อน เขาเตรียมก้อนดินไว้ข้างตัวอีกมากและจะวางก้อนดินเพิ่มขึ้นทีละก้อนทุกครั้งที่มีวัวออกจากคอกไปหนึ่งตัว ในตอนเย็นเขาต้อนวัวกลับเข้าคอก เมื่อวัวกลับเข้าคอกหนึ่งตัว  เขาจะหยิบก้อนดินหนึ่งก้อนออกจากกอง เขาทำเช่นนี้เรื่อยไปจนก้อนดินหมดกอง เขาก็จะทราบว่าวัวกลับเข้าคอกครบ แต่ถ้ามีก้อนดินเหลืออยู่ เขาจะรู้ว่าวัวของเขาหายไป
           คนบางพวกจะใช้วิธีขูดขีด หรือแกะสลักบนต้นไม้หรือแผ่นดินแทนจำนวนที่นับได้
           บางพวกใช้วิธีขมวดปมเชือก เมื่อสัตว์เลี้ยงออกจากคอกไปหนึ่งตัวเขาก็สาวเชือกหนึ่งปม

           มนุษย์ก็เริ่มรู้จักสร้างบ้านเรือนเป็นที่พักอาศัยของตนเอง และรู้จักสร้างคอกให้สัตว์เลี้ยง เพื่อป้องกันภัยจากธรรมชาติและสัตว์ร้าย บ้านเรือนสมัยแรกเริ่มมักจะปลูกเป็นกระท่อมแบบง่ายๆ ใช้ดินโคลนที่ตากแห้งเป็นวัสดุในการก่อสร้าง ตัวกระท่อมมักเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รู้จักประดิษฐ์เครื่องปั้นดินเผาขึ้นใช้ เขารู้จักรูปเรขาคณิตง่ายๆ  เช่น รูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม เขาเริ่มรู้จักสังเกตรูปร่างสิ่งของในธรรมชาติ เช่น รอบวงของดวงอาทิตย์เป็นวงกลม ใยแมงมุมเป็นรูปหลายเหลี่ยม  รวงผึ้งเป็นรูปหกเหลี่ยม ต้นไม้เป็นรูปทรงกระบอก การก่อสร้างทำให้รู้จักแนวตั้งและแนวนอน เส้นตั้งฉากและเส้นขนาน รู้จักใช้ความยาวของฝ่ามือและแขน ตลอดจนความยาวของส่วนอื่นของร่างกายเป็นมาตราวัดระยะ