การแปลงเลขฐาน

การแปลงเลขฐาน 10 ให้เป็นเลขฐาน 2 ทำได้โดยเอาเลขฐานสิบตั้ง แล้วหารด้วยเลข 2 ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลลัพธ์เป็น "0" ในการหารนั้นจะต้องเขียนเศษไว้ทุกครั้ง จากนั้นให้เขียนเศษที่ได้จากการหารโดยเรียงลำดับจากด้านล่างขึ้นด้านบน

ตัวอย่าง   จงแปลง   ให้อยู่ในรูปเลขฐานสอง

ผลลัพธ์ของการแปลง      ให้อยู่ในรูปเลขฐาน 2  คือ             (1) การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง       คำศัพท์ที่จำเป็นต้องทำความรู้จักเพื่อให้เข้าใจตรงกันในการดำเนินการต่างๆ ในระบบเลขฐานสองมีดังนี้  (ก) บิต (bit) คือหลักแต่ละหลักในระบบเลขฐานสอง เช่น 1102 ประกอบด้วย 3 บิต             (ข) บิตที่มีนัยสำคัญสูงสุด (most significant bit : MSB) คือบิตที่อยู่ซ้ายมือสุดเป็นบิตที่มีค่าประจำหลักมากที่สุด เช่น 1002 บิตที่มีนัยสำคัญสูงสุดคือ 1 มีค่าประจำหลักเป็น 22             (ค) บิตที่มีนัยสำคัญต่ำสุด (least significant bit : LSB) คือบิตที่อยู่ขวามือสุดซึ่งเป็นบิตที่มีค่าประจำหลักน้อยที่สุดเช่น 1102 บิตที่มีนัยสำคัญต่ำสุดคือ 0 มีค่าประจำหลักเป็น 20 ให้สังเกตว่าค่าประจำหลักของบิตที่มีนัยสำคัญต่ำสุดจะมีค่าเป็น 20 เสมอ      การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นฐานสองนั้นเราอาจใช้วิธีการหาร โดยให้ตัวเลขฐานสิบเป็นตัวตั้ง แล้วหารด้วยเลข 2 ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งผลหารเป็น 0 และในการหารแต่ละครั้งต้องเขียนเศษที่ได้จากการหารไว้ หลังจากที่หารจนผลหารเป็น 0 เราจะได้เลขฐานสองที่มีค่าเท่ากับเลขฐานสิบที่เป็นตัวตั้งโดยการเขียนเศษที่ได้จากการหารแต่ละครั้งจากล่างขึ้นบน ดังตัวอย่างต่อไปนี้         ตัวอย่าง  แสดงการแปลง 29 ซึ่งเป็นเลขฐานสิบให้อยู่ในรูปเลขฐานสอง     วิธีทำ                 2)29   1. เริ่มต้นโดยเอา 29 ตั้งแล้วหารด้วย 2 2)14 เศษ 1 2. จากข้อ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 14 เศษ 1 2)7_ เศษ 0 3. ผลลัพธ์จากข้อ 2 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 7 เศษ 0 2)3_ เศษ 1 4. ผลลัพธ์จากข้อ 3 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 3 เศษ 1 2)1_ เศษ 1 5. ผลลัพธ์จากข้อ 4 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 1 เศษ 1 0 เศษ 1 6. ผลลัพธ์จากข้อ 5 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 0 เศษ 1 111012 7. เมื่อหารจนกระทั่งผลหารเป็น 0 เขียนเศษทั้งหมดที่ได้จากการหารทั้งหมดเรียงกันจากล่างขึ้นบน จะได้รูปแบบของเลขฐานสองที่มีค่าเท่ากับ 2910           การแปลงเลขฐานสองกลับเป็นเลขฐานสิบต้องอาศัยค่าประจำหลักของแต่ละบิตในเลขฐานสองที่ต้องการแปลง โดยเราจะแยกตัวเลขในแต่ละบิตมาคูณด้วยค่าประจำหลักแล้วนำผลลัพธ์จากการคูณดังกล่าวมารวมกัน จะได้เลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับเลขฐานสองดังตัวอย่างต่อไปนี้       ตัวอย่างที่ 1 แสดงการแปลงเลข 100012 ให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ     100012 = (1 x 24) + (0 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)   = 16 + 0 + 0 + 0 +1   = 17     ตัวอย่างที่ 2 แสดงการแปลงเลข 1001112 ให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ     1001112 = (1 x 25) + (0 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)   = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1   = 39 การบวกเลขฐานสอง                การบวกเลขฐานสองมีหลักการเหมือนกับการบวกเลขฐานสิบที่เราคุ้นเคย เพียงแต่ตัวเลขในแต่ละหลักของเลขฐานสองจะมีค่ามากที่สุดคือ 1 นั่นหมายความว่าในหลักใดๆ ที่มี 1 บวกกับ 1 จะได้ผลลัพธ์เป็น 0 และทดค่า 1 ไว้ในหลักถัดไปทางซ้ายดังตัวอย่างต่อไปนี้     1. การบวกเริ่มจากพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5 2. หลักที่ 5 เป็น 1+ 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 ไม่มีการทด 3. หลักที่ 4 เป็น 1+ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 ทด 1 4. หลักที่ 3 เป็น 0 + 0 ได้ 0 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 1 ไม่มีการทด 5. หลักที่ 2 เป็น 0 + 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 ไม่มีการทด 6. หลักที่ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 เหมือนเดิม 7. ผลลัพธ์เป็น 111012 ตัวอย่าง  แสดงการหาค่า 1001 + 1111     วิธีทำ     1. การบวกเริ่มจากพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5 2. หลักที่ 5 เป็น 1+ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 ทด 1 3. หลักที่ 4 เป็น 0 + 1 ได้ 1 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และมีการทดไปยังหลักทางซ้าย 1 4. หลักที่ 3 เป็น 0 + 1 ได้ 1 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และมีการทดไปยังหลักทางซ้าย 1 5. หลักที่ 2 เป็น 1 + 1 ได้ 0 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 1 และมีการทดไปยังหลักทางซ้าย 1 6. หลักที่ 1 จากตัวทดจากหลักที่แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 เหมือนเดิม 7. ผลลัพธ์เป็น 110002 การลบเลขฐานสอง          การลบเลขฐานสองก็เช่นเดียวกับการลบเลขฐานสิบ คือพิจารณาเอาเลขที่เป็นตัวตั้งลบด้วยตัวลบทีละหลัก หากตัวตั้งเป็น 1 ตัวลบเป็น 0 ผลลัพธ์ได้เป็น 1 แต่ถ้าตัวตั้งเป็น 0 และตัวลบเป็น 1 ต้องมีการดึงค่าในหลักที่อยู่ทางซ้ายมาได้ผลลัพธ์เป็น 1 และมีผลให้ค่าของหลักที่ถูกดึงมามีค่าเป็น 0 ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 1 แสดงการหาค่า 10011 - 1010     1. การลบเริ่มพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5 2. หลักที่ 5 เป็น 1 - 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 3. หลักที่ 4 เป็น 1 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 4. หลักที่ 3 เป็น 0 - 0 ได้ 0 5. หลักที่ 2 เป็น 0 - 1 ต้องดึงค่าจากหลักที่อยู่ทางซ้าย คือ 10 มาช่วยเป็น 10 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 6. หลักที่ 1 ถูกหลักที่อยู่ทางขวาดึงไป ทำให้เหลือค่าเป็น 0 7. ผลลัพธ์เป็น 10012 ตัวอย่าง   แสดงการหาค่า 11001 - 1111       1. การลบเริ่มพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5 2. หลักที่ 5 เป็น 1 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 3. หลักที่ 4 เป็น 0 - 1 ต้องดึงค่าจากหลักที่อยู่ทางซ้าย คือ 10 มาช่วยเป็น 10 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 4. หลักที่ 3 หลังจากหลักที่อยู่ทางขวาดึงค่าไป ทำให้เหลือค่าเป็น 1 และ 1-1 ได้ 0 5. หลักที่ 2 ในทำนองเดียวกับหลักที่ 3 เหลือค่า 0 ทำให้ต้องยืมค่ามาจากหลักที่ 1 เป็น 10 - 1 ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็น 1 6. หลักที่ 1 ถูกหลักที่อยู่ทางขวาดึงไป ทำให้เหลือค่าเป็น 0 7. ผลลัพธ์เป็น 10102                 เมื่อมนุษย์สามารถแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง และแปลงเลขฐานสองกลับเป็น เลขฐานสิบได้ ก็สามารถเขียนโปรแกรมเพื่อสั่งการคอมพิวเตอร์ทำงานได้ตามที่ต้องการ และพัฒนาวิธีการในการสื่อสารหรือสั่งการคอมพิวเตอร์มาเรื่อยๆ จนในปัจจุบันผู้ใช้คอมพิวเตอร์ทั่วไปอาจไม่ต้องทำความเข้าใจการทำงานของคอมพิวเตอร์อย่างลึกซึ้งเช่นนี้ เนื่องจากมีบุคลากรที่ทำหน้าที่คิดค้นโปรแกรมที่สามารรับข้อความ หรือคำสั่งในรูปแบบของภาษาและระบบตัวเลขที่ผู้ใช้คุ้นเคย แล้วแปลความหมายเป็นเลขฐานสองก่อนส่งให้เครื่องคอมพิวเตอร์ประมวลผล การแปลงเลขหลังทศนิยม (เศษส่วน) ฐานสิบ (Fractional Decimal Numbers) ให้เป็นฐานสอง การเปลี่ยนเลขหลังทศนิยมฐานสิบ ให้เป็นฐานสอง จะใช้วิธีการนำค่าเลขหลังทศนิยมตั้ง แล้วคูณด้วยสอง จากนั้นนำผลลัพธ์ที่ได้เป็นตัวตั้งในการคูณครั้งต่อไป จนกว่าค่าผลลัพธ์ส่วนที่เป็น เลขหลังทศนิยมเท่ากับ .00 กรณีที่คูณแล้วไม่ลงตัวเท่ากับ .00 ก็ให้คูณจนได้ค่าที่ต้องการ สุดท้ายนำค่าตัวเลขก่อนทศนิยม จากผลลัพธ์แต่ละครั้ง มาเขียนเรียงต่อกัน ก็จะได้ค่าฐานสองที่ต้องการ ดังตัวอย่าง ตัวอย่าง ต้องการแปลงเลข (0.65625)10 เป็นเลขฐานสอง     พิจารณาทีละจุด         นำ 0.65625 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.31250             * ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักแรกของค่าเลขฐานสอง             * นำ .31250 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป         นำ 0.31250 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 0.62500             * ค่า 0 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สองของค่าเลขฐานสอง             * นำ .62500 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป         นำ 0.62500 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.25000             * ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สามของค่าเลขฐานสอง             * นำ .25000 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป         นำ 0.25000 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 0.50000             * ค่า 0 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สี่ของค่าเลขฐานสอง             * นำ .50000 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป         นำ 0.5000 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.00000             * ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่ห้าของค่าเลขฐานสอง             * เนื่องจากเลขหลังทศนิยมเท่ากับ .00000 จึงไม่ต้องคูณต่อ         นำเลขก่อนทศนิยมของการคูณแต่ละครั้ง มาเขียนเรียงกัน จะได้ค่าเท่ากับ 10101 ดังนั้นเลขทศนิยมฐานสิบ 0.65625 จะเท่ากับ 0.10101 ในฐานสอง   การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานอื่นๆ การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานอื่น หรือ การแปลงเลขฐานอื่นให้เป็นเลขฐานสิบมีความจำเป็นมาก เพราะปกติมนุษย์คุ้นเคย กับ เลขฐานสิบ มากกว่าเลขฐานอื่นแต่ถ้าจะมองกันในแง่การประมวลผลด้วยเครื่องจักรทางอิเล็กทรอนิกส์แล้ว เลขฐานสองเป็นเลขที่เหมาะสม มากกว่า ดังนั้นจึงต้องศึกษาวิธีการแปลงฐานเลขซึ่งจะได้กล่าวถึงดังต่อไปนี้ การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสองนั้นโดยทั่วไปทำได้ 2 วิธี คือ วิธีที่ 1 มีวิธีการทำดังนี้ ก. ใช้กฎ โดยวิธีใช้ 2 ยกกำลังค่าสูงสุดแล้วค่าไม่เกินเลขฐานสิบ จำนวนที่ต้องการเปลี่ยนเป็นฐานสองนั้นๆ แล้วเอาเลขที่ได้จากการใช้ 2 ยกกำลังไปลบออกจากเลขฐานสิบตัวตั้งที่ต้องการเปลี่ยน ข. ใช้ 2 ยกกำลังค่าสูงสุดที่ไม่เกินเลขฐานสิบ ผลลัพธ์ได้จากการตั้งลบในข้อ ก. แล้ว เอาเลขที่ได้จากการใช้ 2 ยกกำลังไปลบออก เหมือนกับในข้อ ก. ทำซ้ำๆกันหลายครั้ง จนกระทั่งหมดเลขฐานสิบ ซึ่งเป็นตัวตั้ง แล้วนำเอาสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังมาเขียน เป็น เลขฐานสอง ค. ในการเขียนเลขฐานสอง ให้ถือสัมประสิทธิ์ หรือเศษจากการลบครั้งแรก เป็นหลักสูงสุดของเลขฐานสองและเรียงลำดับไปเรื่อยๆ ถ้าหากหลักใดไม่มีสัมประสิทธิ์หรือเศษให้คิดค่าฐานสองเป็น 0 ตัวอย่าง จงแปลง เป็นฐานสอง เราหาจำนวนหลักของเลขฐานสองได้โดยสังเกตจากการใช้ 2 ยกกำลังสูงสุด (ซึ่งปกติหลักแรกจะต้องเป็น 2 ยกกำลังสูงสุดลบด้วย 1) ดังนั้น จำนวนหลักของเลขฐานสอง คือ กำลังของฐานสอง หลักสูงสุดบวกด้วย 1 ในตัวอย่างที่ 1.5 คือ เป็นค่าที่ได้จากการใช้ 2 ยกกำลังสูงสุด ดังนั้นจำนวนหลักของเลขฐานสอง คือ 4+1 = 5 หรือ n = 5 นั่นเอง ซึ่งถ้าเขียนตามกฎที่กล่าวมาแล้วจะได้ว่า ตัวอย่าง จงแปลง เป็นฐานสอง วิธีที่ 2 ก . นำเอา 2 ไปหารจำนวนเลขฐานสิบซึ่งเป็นตัวตั้งไปเรื่อยๆหากครั้งใดหารลงตัวจะได้สัมประสิทธิ์ของฐานเป็น 0 และถ้าหารแล้ว เหลือเศษ1 จะได้สัมประสิทธิ์ของฐานเป็น 1 ข. เมื่อหารไปถึงครั้งหลังสุดจะเหลือเศษ 1 เสมอ จากนั้นให้นำเอาค่าเศษของผลหาร แต่ละครั้งมาเขียนเป็นเลขฐานสอง โดยให้ค่า เศษของ การหารเลขฐานสิบครั้งสุดท้ายเป็นหลักแรกหรือหลักสูงสุดของเลขฐานสองจำนวนนั้นๆ ตัวอย่าง จงแปลง และ เป็นเลขฐานสอง