วันพุธที่ 25 มกราคม พ.ศ. 2555

การหาตำแหน่งของข้อมูล

การหาตำแหน่งที่ของข้อมูล ( เปอร์เซ็นไทล์ ) 
           การหาตำแหน่งหรือลำดับที่ของข้อมูลใน แต่ละชุด เช่น นาย A สอบได้ที่ 10 เราไม่สามารถบอกได้ว่าผลการสอบของนาย A เป็นอย่างไรของกลุ่ม ถ้าในกลุ่มของนาย A มีนักเรียน 45 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนเก่งในกลุ่ม ถ้าในกลุ่มมีเพียง 10 คน ก็สรุปว่านาย A เป็นคนที่เรียนไม่เก่ง และสอบได้ที่สุดท้าย เพื่อช่วยให้การกล่าวถึงตำแหน่งเป็นไปโดยมีความหมาย คือ สามารถบอกได้ทันที่ว่าตำแหน่งนั้นดีไม่ดีเพียงไรในกลุ่ม จึงได้มีการหาวิธีการบอกตำแหน่งโดย บอกตำแหน่งด้วย ควอร์ไทล์  เดไซล์  และเปอร์เซ็นไทล์
            เปอร์เซ็นไทล์  เป็นค่าที่แบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน เมื่อข้อมูลถูกเรียงจากน้อยไปหามาก เนื่องจากค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน มีอยู่ 99 ค่า ดังนั้นเราจึงตั้งชื่อแต่ละค่าว่า
           เปอร์เซ็นไทล์ที่หนึ่ง  ใช้สัญลักษณ์ P1   คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 1 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
           เปอร์เซ็นไทล์ที่สอง  ใช้สัญลักษณ์ P2  คือค่าที่มีจำนวนข้อมูลน้อยกว่าค่านี้อยู่ประมาณ 2 ใน100 ของข้อมูลทั้งหมด
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงเปอร์เซ็นไทล์ที่เก้าสิบเก้า ใช้สัญลักษณ์ P99
           การหาเปอร์เซ็นไทล์ ก็เช่นเดียวกับการหาควอร์ไทล์และเดไซล์ คือต้องหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ก่อน ให้ N เป็นจำนวนข้อมูลหรือความถี่ทั้งหมด


           1.กรณีที่ข้อมูลยังไม่แจกแจงความถี่                                                                           
           ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 1/100 )
           ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 2/100 )
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ ( N + 1)( 99/100 ) 
           โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
           ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( N + 1 )( r/100 )


           2.กรณีที่ข้อมูลแจกแจงความถี่
           ตำแหน่งของ P1 คือตำแหน่งที่  N( 1/100 )
           ตำแหน่งของ P2 คือตำแหน่งที่  N( 2/100 )
           จะมีลักษณะเช่นนี้ไปเรื่อยๆจนถึงตำแหน่งของ P99 คือตำแหน่งที่ N( 99/100 )
           โดยทั่วไป ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ r คือ
           ตำแหน่งของ Pr คือตำแหน่งที่ ( Nr/100 )

          หมายเหตุ     การหาเปอร์เซ็นไทล์ เราจะใช้ในกรณีที่มีข้อมูลดังกล่าวมีจำนวนมากๆ เพราะว่าเปอร์เซ็นไทล์เป็นค่าที่แบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น   100   ส่วนเท่าๆกัน    ดังนั้นในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนน้อยไม่เหมาะที่จะหาเปอร์เซ็นไทล์ควรจะไปใช้ ควอร์ไทล์ หรือ เดไซล์จะดีกว่า

ตัวอย่างที่ 1       ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 44 คน ได้คะแนนเรียงตามลำดับดังนี้   11, 12, 13, 18, 19, 24, 27, 28, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 37, 38, 38, 39, 40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 50, 54, 54, 55, 55, 56, 46, 56, 58, 58, 59, 60 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75                                         
                   วิธีทำ


                             Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ    ( N + 1 )( r /100 )                                       


                             P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ  (44 + 1)( 75/100 )  = 33.5 


                                ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
                                ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
                                ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
                                ตำแหน่งต่างกัน 0.75 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.75 = 3
             
                               ดังนั้น ค่าเปอร์เซ็นไทล์ ที่ 75 เท่ากับ 53




ตัวอย่างที่ 2    กำหนดข้อมูล 30, 42, 25, 34, 28, 36, 33, 44, 18 จงหาว่าข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
          วิธีทำ    เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก ได้ 18 , 25 , 28 , 30 , 33 , 34 , 36 , 42 , 44 ให้ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่ง ที่ r ดังนั้น 30 เท่ากับ Pr ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งที่ 4                                         


                    แต่ตำแหน่ง Pr  = ( 9 + 1 )( r/100 )  ได้   10r/100 = 4                                          


                    ดังนั้น      r = 40 
  
                    ดังนั้น ข้อมูลที่มีค่า 30 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 40 หรือ P40


           สรุป ขั้นตอนการหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่เป็นอันตรภาคชั้น
                 1. เรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปหามาก
                 2. หาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ โดย ตำแหน่ง Pr  คือ ( N + 1 )( r/100 )  


           ใช้ตำแหน่ง Pr เทียบบัญญัติไตรยางค์หาข้อมูลที่ตรงกับตำแหน่ง Pr นั้น






   
ตรงที่บอกว่า    Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ    ( N + 1 )( r /100 )                                        
P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ  (44 + 1)( 75/100 )  = 33.5  
ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
ตำแหน่งต่างกัน 0.75 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.75 = 3 
จริงๆต้องเป็น  Pr อยู่ในตำแหน่งที่ คือ    ( N + 1 )( r /100 )                                        
P75 อยู่ในตำแหน่งที่ คือ  (44 + 1)( 75/100 )  = 33.5  
ตำแหน่งที่ 33 ของข้อมูลข้างต้น คือ 50
ตำแหน่งที่ 34 ของข้อมูลข้างต้น คือ 54
ตำแหน่งต่างกัน 1 ค่าของเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4
ตำแหน่งต่างกัน 0.5 ค่าเปอร์เซ็นไทล์ต่างกัน 4 x 0.5 = 2
ใช่ปะครับเพราะ  P75 = 33.5 อยู่ระหว่างตำแหน่งที่ 33 และ 34 คือ 50 และ 54
ตำแหน่งต่างกัน 34 - 33 = 1 คะแนนต่างกัน 54 - 50 = 4
ตำแหน่งต่างกัน  33.5 - 33 = 0.5 คะแนนต่างกัน 0.5 x 4 = 2
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

การแปลงเลขฐาน


        
      การแปลงเลขฐาน 10 ให้เป็นเลขฐาน 2 ทำได้โดยเอาเลขฐานสิบตั้ง แล้วหารด้วยเลข 2 ไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งผลลัพธ์เป็น "0" ในการหารนั้นจะต้องเขียนเศษไว้ทุกครั้ง จากนั้นให้เขียนเศษที่ได้จากการหารโดยเรียงลำดับจากด้านล่างขึ้นด้านบน
 
ตัวอย่าง   จงแปลง   ให้อยู่ในรูปเลขฐานสอง
ผลลัพธ์ของการแปลง      ให้อยู่ในรูปเลขฐาน 2  คือ    

        (1) การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง
      คำศัพท์ที่จำเป็นต้องทำความรู้จักเพื่อให้เข้าใจตรงกันในการดำเนินการต่างๆ ในระบบเลขฐานสองมีดังนี้
 (ก) บิต (bit) คือหลักแต่ละหลักในระบบเลขฐานสอง เช่น 1102 ประกอบด้วย 3 บิต
            (ข) บิตที่มีนัยสำคัญสูงสุด (most significant bit : MSB) คือบิตที่อยู่ซ้ายมือสุดเป็นบิตที่มีค่าประจำหลักมากที่สุด เช่น 1002 บิตที่มีนัยสำคัญสูงสุดคือ 1 มีค่าประจำหลักเป็น 22
            (ค) บิตที่มีนัยสำคัญต่ำสุด (least significant bit : LSB) คือบิตที่อยู่ขวามือสุดซึ่งเป็นบิตที่มีค่าประจำหลักน้อยที่สุดเช่น 1102 บิตที่มีนัยสำคัญต่ำสุดคือ 0 มีค่าประจำหลักเป็น 20 ให้สังเกตว่าค่าประจำหลักของบิตที่มีนัยสำคัญต่ำสุดจะมีค่าเป็น 20 เสมอ
     การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นฐานสองนั้นเราอาจใช้วิธีการหาร โดยให้ตัวเลขฐานสิบเป็นตัวตั้ง แล้วหารด้วยเลข 2 ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งผลหารเป็น 0 และในการหารแต่ละครั้งต้องเขียนเศษที่ได้จากการหารไว้ หลังจากที่หารจนผลหารเป็น 0 เราจะได้เลขฐานสองที่มีค่าเท่ากับเลขฐานสิบที่เป็นตัวตั้งโดยการเขียนเศษที่ได้จากการหารแต่ละครั้งจากล่างขึ้นบน ดังตัวอย่างต่อไปนี้
       
ตัวอย่าง  แสดงการแปลง 29 ซึ่งเป็นเลขฐานสิบให้อยู่ในรูปเลขฐานสอง
  
 
วิธีทำ      
  
       
2)29
   1. เริ่มต้นโดยเอา 29 ตั้งแล้วหารด้วย 2
2)14
 เศษ 1 2. จากข้อ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 14 เศษ 1
2)7_
 เศษ 0 3. ผลลัพธ์จากข้อ 2 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 7 เศษ 0
2)3_
 เศษ 1 4. ผลลัพธ์จากข้อ 3 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 3 เศษ 1
2)1_
 เศษ 1 5. ผลลัพธ์จากข้อ 4 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 1 เศษ 1
0
 เศษ 1 6. ผลลัพธ์จากข้อ 5 หารด้วย 2 ผลลัพธ์เป็น 0 เศษ 1
111012
 7. เมื่อหารจนกระทั่งผลหารเป็น 0 เขียนเศษทั้งหมดที่ได้จากการหารทั้งหมดเรียงกันจากล่างขึ้นบน จะได้รูปแบบของเลขฐานสองที่มีค่าเท่ากับ 2910 


  
 
     การแปลงเลขฐานสองกลับเป็นเลขฐานสิบต้องอาศัยค่าประจำหลักของแต่ละบิตในเลขฐานสองที่ต้องการแปลง โดยเราจะแยกตัวเลขในแต่ละบิตมาคูณด้วยค่าประจำหลักแล้วนำผลลัพธ์จากการคูณดังกล่าวมารวมกัน จะได้เลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับเลขฐานสองดังตัวอย่างต่อไปนี้
 		  
  ตัวอย่างที่ 1 แสดงการแปลงเลข 100012 ให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ  
 
100012 = (1 x 24) + (0 x 23) + (0 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)
  = 16 + 0 + 0 + 0 +1
  = 17
  
 
ตัวอย่างที่ 2 แสดงการแปลงเลข 1001112 ให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ		  
 
1001112 = (1 x 25) + (0 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20)
  = 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1
  = 39

การบวกเลขฐานสอง  
             การบวกเลขฐานสองมีหลักการเหมือนกับการบวกเลขฐานสิบที่เราคุ้นเคย เพียงแต่ตัวเลขในแต่ละหลักของเลขฐานสองจะมีค่ามากที่สุดคือ 1 นั่นหมายความว่าในหลักใดๆ ที่มี 1 บวกกับ 1 จะได้ผลลัพธ์เป็น 0 และทดค่า 1 ไว้ในหลักถัดไปทางซ้ายดังตัวอย่างต่อไปนี้  
 
1. การบวกเริ่มจากพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5
2. หลักที่ 5 เป็น 1+ 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 ไม่มีการทด
3. หลักที่ 4 เป็น 1+ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 ทด 1
4. หลักที่ 3 เป็น 0 + 0 ได้ 0 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 1 ไม่มีการทด
5. หลักที่ 2 เป็น 0 + 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 ไม่มีการทด
6. หลักที่ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1 เหมือนเดิม
7. ผลลัพธ์เป็น 111012


ตัวอย่าง  แสดงการหาค่า 1001 + 1111  
  วิธีทำ  
 
1. การบวกเริ่มจากพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5
2. หลักที่ 5 เป็น 1+ 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 ทด 1
3. หลักที่ 4 เป็น 0 + 1 ได้ 1 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และมีการทดไปยังหลักทางซ้าย 1
4. หลักที่ 3 เป็น 0 + 1 ได้ 1 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และมีการทดไปยังหลักทางซ้าย 1
5. หลักที่ 2 เป็น 1 + 1 ได้ 0 แต่มีการทดจากหลักที่แล้ว เมื่อบวกกับตัวทด ได้ผลลัพธ์เป็น 1 และมีการทดไปยังหลักทางซ้าย 1
6. หลักที่ 1 จากตัวทดจากหลักที่แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 เหมือนเดิม
7. ผลลัพธ์เป็น 110002

การลบเลขฐานสอง  
 
     การลบเลขฐานสองก็เช่นเดียวกับการลบเลขฐานสิบ คือพิจารณาเอาเลขที่เป็นตัวตั้งลบด้วยตัวลบทีละหลัก หากตัวตั้งเป็น 1 ตัวลบเป็น 0 ผลลัพธ์ได้เป็น 1 แต่ถ้าตัวตั้งเป็น 0 และตัวลบเป็น 1 ต้องมีการดึงค่าในหลักที่อยู่ทางซ้ายมาได้ผลลัพธ์เป็น 1 และมีผลให้ค่าของหลักที่ถูกดึงมามีค่าเป็น 0 ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 แสดงการหาค่า 10011 - 1010		  
 
1. การลบเริ่มพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5
2. หลักที่ 5 เป็น 1 - 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 1
3. หลักที่ 4 เป็น 1 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0
4. หลักที่ 3 เป็น 0 - 0 ได้ 0
5. หลักที่ 2 เป็น 0 - 1 ต้องดึงค่าจากหลักที่อยู่ทางซ้าย คือ 10 มาช่วยเป็น 10 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1
6. หลักที่ 1 ถูกหลักที่อยู่ทางขวาดึงไป ทำให้เหลือค่าเป็น 0
7. ผลลัพธ์เป็น 10012

ตัวอย่าง   แสดงการหาค่า 11001 - 1111  
   
1. การลบเริ่มพิจารณาจากหลักที่มีนัยสำคัญต่ำสุดนั่นคือหลักที่ 5
2. หลักที่ 5 เป็น 1 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 0
3. หลักที่ 4 เป็น 0 - 1 ต้องดึงค่าจากหลักที่อยู่ทางซ้าย คือ 10 มาช่วยเป็น 10 - 1 ได้ผลลัพธ์เป็น 1
4. หลักที่ 3 หลังจากหลักที่อยู่ทางขวาดึงค่าไป ทำให้เหลือค่าเป็น 1 และ 1-1 ได้ 0
5. หลักที่ 2 ในทำนองเดียวกับหลักที่ 3 เหลือค่า 0 ทำให้ต้องยืมค่ามาจากหลักที่ 1 เป็น 10 - 1 ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็น 1
6. หลักที่ 1 ถูกหลักที่อยู่ทางขวาดึงไป ทำให้เหลือค่าเป็น 0
7. ผลลัพธ์เป็น 10102
 
     
        เมื่อมนุษย์สามารถแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง และแปลงเลขฐานสองกลับเป็น เลขฐานสิบได้ ก็สามารถเขียนโปรแกรมเพื่อสั่งการคอมพิวเตอร์ทำงานได้ตามที่ต้องการ และพัฒนาวิธีการในการสื่อสารหรือสั่งการคอมพิวเตอร์มาเรื่อยๆ จนในปัจจุบันผู้ใช้คอมพิวเตอร์ทั่วไปอาจไม่ต้องทำความเข้าใจการทำงานของคอมพิวเตอร์อย่างลึกซึ้งเช่นนี้ เนื่องจากมีบุคลากรที่ทำหน้าที่คิดค้นโปรแกรมที่สามารรับข้อความ หรือคำสั่งในรูปแบบของภาษาและระบบตัวเลขที่ผู้ใช้คุ้นเคย แล้วแปลความหมายเป็นเลขฐานสองก่อนส่งให้เครื่องคอมพิวเตอร์ประมวลผล

การแปลงเลขหลังทศนิยม (เศษส่วน) ฐานสิบ (Fractional Decimal Numbers) ให้เป็นฐานสอง

การเปลี่ยนเลขหลังทศนิยมฐานสิบ ให้เป็นฐานสอง จะใช้วิธีการนำค่าเลขหลังทศนิยมตั้ง แล้วคูณด้วยสอง จากนั้นนำผลลัพธ์ที่ได้เป็นตัวตั้งในการคูณครั้งต่อไป จนกว่าค่าผลลัพธ์ส่วนที่เป็น เลขหลังทศนิยมเท่ากับ .00 กรณีที่คูณแล้วไม่ลงตัวเท่ากับ .00 ก็ให้คูณจนได้ค่าที่ต้องการ สุดท้ายนำค่าตัวเลขก่อนทศนิยม จากผลลัพธ์แต่ละครั้ง มาเขียนเรียงต่อกัน ก็จะได้ค่าฐานสองที่ต้องการ ดังตัวอย่าง

ตัวอย่าง ต้องการแปลงเลข (0.65625)10 เป็นเลขฐานสอง
    พิจารณาทีละจุด
        นำ 0.65625 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.31250
            * ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักแรกของค่าเลขฐานสอง
            * นำ .31250 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

        นำ 0.31250 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 0.62500
            * ค่า 0 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สองของค่าเลขฐานสอง
            * นำ .62500 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

        นำ 0.62500 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.25000
            * ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สามของค่าเลขฐานสอง
            * นำ .25000 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

        นำ 0.25000 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 0.50000
            * ค่า 0 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่สี่ของค่าเลขฐานสอง
            * นำ .50000 (เลขหลังทศนิยม) ไปเป็นตัวตั้งในการคูณครั้งถัดไป

        นำ 0.5000 คูณด้วย 2 ได้ค่าเท่ากับ 1.00000
            * ค่า 1 (เลขก่อนทศนิยม) จะเป็นค่าหลักที่ห้าของค่าเลขฐานสอง
            * เนื่องจากเลขหลังทศนิยมเท่ากับ .00000 จึงไม่ต้องคูณต่อ

        นำเลขก่อนทศนิยมของการคูณแต่ละครั้ง มาเขียนเรียงกัน จะได้ค่าเท่ากับ 10101 ดังนั้นเลขทศนิยมฐานสิบ 0.65625 จะเท่ากับ 0.10101 ในฐานสอง

 math

 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานอื่นๆ
               การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานอื่น หรือ การแปลงเลขฐานอื่นให้เป็นเลขฐานสิบมีความจำเป็นมาก  เพราะปกติมนุษย์คุ้นเคย กับ
           เลขฐานสิบ มากกว่าเลขฐานอื่นแต่ถ้าจะมองกันในแง่การประมวลผลด้วยเครื่องจักรทางอิเล็กทรอนิกส์แล้ว  เลขฐานสองเป็นเลขที่เหมาะสม
           มากกว่า ดังนั้นจึงต้องศึกษาวิธีการแปลงฐานเลขซึ่งจะได้กล่าวถึงดังต่อไปนี้


           การแปลงเลขฐานสิบเป็นเลขฐานสอง
                            การแปลงเลขฐานสิบให้เป็นเลขฐานสองนั้นโดยทั่วไปทำได้ 2 วิธี คือ
                วิธีที่ 1  มีวิธีการทำดังนี้ 
                    ก. ใช้กฎ  โดยวิธีใช้ 2 ยกกำลังค่าสูงสุดแล้วค่าไม่เกินเลขฐานสิบ
                        จำนวนที่ต้องการเปลี่ยนเป็นฐานสองนั้นๆ  แล้วเอาเลขที่ได้จากการใช้ 2 ยกกำลังไปลบออกจากเลขฐานสิบตัวตั้งที่ต้องการเปลี่ยน
                   ข. ใช้ 2 ยกกำลังค่าสูงสุดที่ไม่เกินเลขฐานสิบ ผลลัพธ์ได้จากการตั้งลบในข้อ  ก. แล้ว เอาเลขที่ได้จากการใช้ 2 ยกกำลังไปลบออก
                        เหมือนกับในข้อ ก. ทำซ้ำๆกันหลายครั้ง จนกระทั่งหมดเลขฐานสิบ ซึ่งเป็นตัวตั้ง แล้วนำเอาสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังมาเขียน
                        เป็น เลขฐานสอง
                   ค. ในการเขียนเลขฐานสอง ให้ถือสัมประสิทธิ์ หรือเศษจากการลบครั้งแรก เป็นหลักสูงสุดของเลขฐานสองและเรียงลำดับไปเรื่อยๆ
                         ถ้าหากหลักใดไม่มีสัมประสิทธิ์หรือเศษให้คิดค่าฐานสองเป็น  0
         ตัวอย่าง   จงแปลง         เป็นฐานสอง
                                                         
             เราหาจำนวนหลักของเลขฐานสองได้โดยสังเกตจากการใช้ 2 ยกกำลังสูงสุด (ซึ่งปกติหลักแรกจะต้องเป็น 2 ยกกำลังสูงสุดลบด้วย 1)  ดังนั้น
        จำนวนหลักของเลขฐานสอง คือ  กำลังของฐานสอง  หลักสูงสุดบวกด้วย 1  ในตัวอย่างที่ 1.5  คือ  เป็นค่าที่ได้จากการใช้ 2 ยกกำลังสูงสุด  
        ดังนั้นจำนวนหลักของเลขฐานสอง คือ  4+1 = 5  หรือ n = 5 นั่นเอง  ซึ่งถ้าเขียนตามกฎที่กล่าวมาแล้วจะได้ว่า
                                                                 
                                                                          
       ตัวอย่าง    จงแปลง       เป็นฐานสอง

                                                                      
                        
   วิธีที่ 2  
              ก . นำเอา 2 ไปหารจำนวนเลขฐานสิบซึ่งเป็นตัวตั้งไปเรื่อยๆหากครั้งใดหารลงตัวจะได้สัมประสิทธิ์ของฐานเป็น  0 และถ้าหารแล้ว
                   เหลือเศษ1 จะได้สัมประสิทธิ์ของฐานเป็น 1 
              ข. เมื่อหารไปถึงครั้งหลังสุดจะเหลือเศษ  1 เสมอ จากนั้นให้นำเอาค่าเศษของผลหาร  แต่ละครั้งมาเขียนเป็นเลขฐานสอง โดยให้ค่า
                   เศษของ การหารเลขฐานสิบครั้งสุดท้ายเป็นหลักแรกหรือหลักสูงสุดของเลขฐานสองจำนวนนั้นๆ
              ตัวอย่าง จงแปลง            และ เป็นเลขฐานสอง





เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันอังคารที่ 24 มกราคม พ.ศ. 2555

การค้นหาค่า พาย



อักษร    อ่านว่า พาย เป็นสัญลักษณ์ที่ William Jones ได้เริ่มใช้เป็นคนแรกเพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความยาว เส้นรอบวงของวงกลมใดๆ กับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมนั้น ซึ่งวงกลมทุกวงจะมีอัตราส่วนดังกล่าวเท่ากันหมดคือ 3.1415.926
ประวัติศาสตร์ได้จารึกไว้ว่า เมื่อประมาณ 4,000 ปีก่อนนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนรู้จักคำนวณค่า    ได้ประมาณ 3.125 และนักคณิตศาสตร์ชาวอียิปต์ได้พบว่า วงกลมก็ตามที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาว 9 หน่วย จะมีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 8 หน่วย นั่นคือ    256/81 = 3.1604
Archimedes นักคณิตศาสตร์ชาติกรีก ซึ่งเคยมีชีวิต อยู่เมื่อ 2,250 ปีก่อนได้แสดงวิธีหาค่า    ในหนังสือ Measurement of a Circle โดยคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่บรรจุในวงกลม และได้ค่า    ว่าอยู่ระหว่าง 3.1408 กับ 3.1428 ในเวลาต่อมาอีกราว 400 ปี Ptolemy นักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงพบว่า    มีค่า 317/120 = 3.141666 และในราวคริสต์ศตวรรษที่ 5 Tsu-Chung-Chih ชาวจีนคำนวณค่า    ได้ 3.1415926 ซึ่งนับว่าถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 7
วงการคณิตศาสตร์ในสมัยโบราณถือกันว่าใครคำนวณค่า    ซึ่งได้ทศนิยมละเอียดยิ่งมีความสามารถมาก L. Ceuben ชาวเนเธอร์แลนด์ คำนวณค่าได้จุดทศนิยมถึง 32 ตำแหน่ง และค่าที่เขาลำบากหามาได้นี้ ได้ถูกนำมาเรียงจารึกบนหลุมฝังศพของเขา เมื่อเขาสิ้นชีวิต
ในปี พ.ศ. 2320 Le Conte de Buffon พบว่าเขาสามารถหาค่า    ได้จากการทดลองโยนเข็มเล่มหนึ่งอย่างไม่ตั้งใจลงบนพื้นซึ่งเส้นขนาน 2 เส้น หากเข็มที่เขาใช้มีความยาว l และระยะห่างระหว่างเส้นขนานเท่ากับ d โดยที่ l < d เขาพบว่าโอกาสที่เข็มจะพาดตัวตัดเส้นขนานเส้นหนึ่ง มีค่าเท่ากับ 2 ดังนั้นเวลาเขาโยนเข็ม N ครั้ง แล้วนับจำนวนครั้งที่เข็มพาดทับเส้นขนาน สมมติว่าได้เท่ากับ n ก็แสดงว่า นั่นคือ    =2lN/dn
กาลเวลาที่ผ่านไปได้ทำให้ความก้าวหน้าในการหาค่า    ได้พัฒนาดียิ่งขึ้นๆ ตามลำดับ เมื่อ Newton และ Leibniz สร้างวิชา Calculus ขึ้นมา สูตรที่เขาใช้ในการหาค่า    คือ

แต่การหาค่า    จากสูตรนี้ ต้องใช้เวลาในการหานานมาก เพราะเทอมแต่ละเทอมในอนุกรมลู่เข้าสู่ศูนย์ช้ามาก ในปี พ.ศ. 2249 Machin ใช้สูตร
คำนวณหาค่า    ถูกถึงทศนินมตำแหน่งที่ 100 แต่สูตรนี้จะให้ค่า    ผิดที่ทศนิยมตำแหน่งที่ 527

Newton เองเคยใช้สูตร...   หาค่า     
เขาคำนวณถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 15   ก็เลิกทำเพราะรู้สึกว่าเสียเวลาที่จะทำงานอื่น

Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ได้พบสูตรหาค่า    อีกหลายสูตร เช่น
   และ     แต่สูตรทั้งสองนี้ไม่มีประสิทธิภาพนักในการหาค่า   

เหตุผลหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ทุ่มเทคำนวณหาค่า    คือต้องการจะดูว่าตัวเลขจำนวนร้อย จำนวนล้านตัว ที่เป็นทศนิยมตามหลังเลขจำนวนเต็ม 3 นั้น เริ่มซ้ำเมื่อไร หากตัวเลขมีซ้ำเป็นช่วงๆ นั่นหมายความว่า เราสามารถเขียน    เป็นอัตราส่วนระหว่างเลขจำนวนเต็มสองจำนวนได้ทันที แต่ Legendre ก็ได้พิสูจน์ให้โลกประจักษ์แล้วว่า    นั้นเป็นเลขอตรรกยะ
เมื่อโลกก้าวเข้าสู่ยุคคอมพิวเตอร์ นักคณิตศาสตร์ก็เริ่มคำนวณหาค่า    อีกโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย ในปี พ.ศ. 2453 Ramanujan นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียได้พบสูตร

ในปี พ.ศ. 2528 Gosper ได้ใช้สูตรของ Ramanujan คำนวณค่า    ถึง 17,526,200 ตำแหน่งทศนิยม แต่สูตรของ Ramanujan นี้มีจุดบกพร่องอยู่ที่ว่า หากต้องการคำนวณ    ให้ละเอียดอีกเท่าตัว จะต้องมีการเพิ่มจำนวนเทอมให้มากขึ้นอีก 2 เท่าตัว
ในปี พ.ศ. 2537 D.และ G. Chudnosky แห่งมหาวิทยาลัย Columbia เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ได้ทุ่มเทความพยายามในการหาค่า    มาก เขาทั้งสองใช้สูตร
หาค่า    ได้ทศนิยม 4,055,000,000 ตำแหน่ง

สถิติโลกในการหาค่า    ปัจจุบันเป็นของ Y. Kamada แห่งมหาวิทยาลัย Tokyo ซึ่งคำนวณค่า    ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 6,442,450,938
เหตุใดคนเราจึงต้องคำนวณค่า    ให้ได้ละเอียดถึงปานนั้น....

เวลานักฟิสิกส์จะใช้ค่า หาความยาวเส้นรอบวงของทางช้างเผือก เขาใช้    ที่มีจุดทศนิยมเพียง 40 จุดก็เกินพอกับความต้องการแล้ว นักคณิตศาสตร์เวลาจะแก้สมการโดยใช้คอมพิวเตอร์เท่าที่ปรากฏเขาก็ใช้คำ เพียง 1,000 จุดทศนิยมก็เพียงพอเช่นกัน
คำตอบก็คือ....

เมื่อเราคำนวณค่า ละเอียดค่า    ที่ได้จะเป็นตัวทดสอบ สามารถเป็นตัวทดสอบประสิทธิภาพการทำงานของคอมพิวเตอร์ได้ คอมพิวเตอร์เครื่องใดทำงานผิดพลาด จะให้ค่า    ผิดทันที และคอมพิวเตอร์ใดคำนวณค่า ได้ทศนิยมถูกต้องถึง 1,000 ล้านตำแหน่งแสดงว่าคอมพิวเตอร์เครื่องนั้นทำงานอย่างน้อย 1,000 ล้านจังหวะได้อย่างไม่ผิดพลาด hardware ของ Gray Supercomputer เครื่องแรกๆ ของโลกจึงเคยมีการพบว่า ทำงานผิดเมื่อใช้คำนวณค่า   
และนอกจากเหตุผลนี้แล้ว การวิจัยค่า    ให้ละเอียดยังช่วยกรตุ้นนักคณิตศาสตร์ให้พยายามหาเทคนิคคำนวณที่ดียิ่งขึ้นๆ อีก
ดังนั้น ความพยายามในการหาค่า    ให้ละเอียดจึงชัดเจนว่าจะเป็นเรื่องความพยายามที่จำเป็นอย่างไม่รู้จบ....
เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)